Au temps des pharaons
Ecrire la fraction 17/19 comme somme de fraction ayant uniquement des 1 au numérateur.
Exemple avec 3/7:
3/7 = 1/3 + 1/11+ 1/231
Les égyptiens utilisaient quasi exclusivement les fractions dont le numérateur est un. On les appelle aujoud'hui d'ailleurs les fractions egyptiennes. Pour représenter ce type de fractions, ils utilisaient un hiéroglyphe en forme de bouche sous lequel ils plaçaient un autre symbole figurant le dénominateur. Les fractions dont le numérateur est supérieur à un étaient décomposées en une somme de fractions égyptiennes distinctes, par exemple :
3/7 = 1/3+1/11+1/231
Trouver une décomposition de 17/19 en une somme de fractions égyptiennes distinctes.
17/19 >1/2 donc déjà on 1/2 entre dans l'écriture en fraction egyptienne du nombre qui nous intéressent.
On peut écrire 17/19=1/2+x/19 ou plus exactement 17/19=1/2+15/38.
De même pour 1/3, comme 15/38 > 1/3 on a 15/38 -1/3 = 45/(3x38) -38/(3x38) = 45-38/114 = 7/114
on a 17/19 = 1/2+1/3+7/114
Par contre 1/4 ne peut être solution puisque 7/114 < 1/4 ; impliquant que 7/114 -1/4 < 0 qui est impossible puisque l'on fait une somme de nombre positif.
On va réitérer ce principe en énumérant toutes les fractions jusqu'à obtenir un résultat.
On pourrait forcer l'utilisation d'un terme (tant qu'il plus petit que la fraction de départ) dans cette décomposition.
Sachant que la série harmonique diverge on pourrait appliquer ce principe à n'importe nombre rationnel strictement positif.
Par ailleurs on pourrait sans doute chercher des approximations de nombre réels (pi, racine carré de deux,...) avec une décomposition en fractions égyptiennes ...
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